Задача Кузнецов Интегралы 15-31

Условие задачи

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями.

$\begin{cases} x=32\cos^{3}{t}, \\ y=3\sin^{3}{t}, \end{cases}$

$x=12\sqrt{3}\; \left(x\ge 12\sqrt{3}\right)$

Решение

Найдем точки пересечения:

$x=32\cos^{3}{t} = 12\sqrt{3}; \; \Rightarrow$

$\cos^{3}{t} = \frac{12\sqrt{3}}{32} = \frac{3\sqrt{3}}{8}$

$\cos{t} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$t = \pm \frac{\pi}{6}+2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$

Так как функции $x=32\cos^{3}{t}, \; y=3\sin^{3}{t}$ периодичны (с периодом $2\pi$), то берем любой отрезок длиной $2\pi$. Возьмем $[-\pi;\; \pi]$. Тогда:

$t = -\frac{\pi}{6}$ или $t = \frac{\pi}{6}$

$x\ge 12\sqrt{3}$ на отрезке $\left[-\frac{\pi}{6};\; \frac{\pi}{6}\right].$

Из рисунка видно, что область симметрична относительно оси $~0x,$ и ее площадь можно посчитать по формуле:

$S= -2\cdot \int\limits_{0}^{\pi/6} y(t) \cdot x'(t) \; dt =$

$= -2\cdot \int\limits_{0}^{\pi/6} 3 \sin^{3}{t} \cdot \left(32 \cos^{3}{t}\right)' dt =$

$= -2\cdot \int\limits_{0}^{\pi/6} 3 \sin^{3}{t} \cdot 96 \cos^{2}{t}\cdot (-\sin{t})\; dt =$

$=576\cdot \int\limits_{0}^{\pi/6} \sin^{4}{t} \cdot \cos^{2}{t}\; dt = \begin{vmatrix} \sin{t}\cos{t}=\frac{1}{2}\sin{2t},\; \\ \sin^{2}{t}=\frac{1}{2}(1-\cos{2t}) \end{vmatrix} =$

$=576\cdot \int\limits_{0}^{\pi/6} \frac{1}{2}(1-\cos{2t})\cdot \left(\frac{1}{2}\sin{2t}\right)^2 dt = 72\cdot \int\limits_{0}^{\pi/6} (1-\cos{2t})\sin^{2}{2t}\; dt =$

$= 72\cdot \int\limits_{0}^{\pi/6} \sin^{2}{2t}\; dt - 72\cdot \int\limits_{0}^{\pi/6} \cos{2t}\cdot \sin^{2}{2t}\; dt =$

$= 72\cdot \int\limits_{0}^{\pi/6} \frac{1}{2}(1-\cos{4t})\; dt - 72\cdot \int\limits_{0}^{\pi/6} \frac{1}{2}\cdot \sin^{2}{2t}\; d\left(\sin{2t}\right) =$

$= 36\cdot \left(t-\frac{1}{4}\sin{4t}\right)\Biggr|_{0}^{\pi/6} - 36\cdot \left(\frac{1}{3}\sin^{3}{2t}\right)\Biggr|_{0}^{\pi/6} =$

$= 36\cdot \left( \frac{\pi}{6}-\frac{1}{4}\sin{\frac{4\pi}{6}}\right) - 36\cdot \left(0-\frac{1}{4}\sin{0}\right) - 12\left( \sin^{3}{\frac{2\pi}{6}} - \sin^{3}{0} \right) =$

$= 6 \pi - 9 \cdot\sin{\frac{2\pi}{3} } - 0 - 12 \sin^{3}{\frac{\pi}{3}} + 0 =$

$= 6 \pi - 9 \cdot\frac{\sqrt{3}}{2} - 12 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^3 = 6 \pi - \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\left( 9 + 12 \cdot \frac{3}{4} \right) = 6 \pi - 9\sqrt{3}$