Задача Кузнецов Интегралы 16-19

Условие задачи

Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах.

$r=1+\sqrt{2}\sin{\phi}$

Решение

Поскольку фигура симметрична, то считаем площадь в I и IV четвертях (т.е. для $\left[-\frac{\pi}{2};\; \frac{\pi}{2}\right]$) и умножим на 2:

$S = 2\cdot \frac{1}{2}\cdot \int\limits_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \left(1 + \sqrt{2}\sin{\phi}\right)^2 d\phi = \int\limits_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \left(1 + \sqrt{2}\sin{\phi}\right)^2 d\phi =$

$= \int\limits_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \left(1 + 2\sqrt{2}\sin{\phi} + 2\sin^{2}{\phi}\right) d\phi = \left| \sin^{2}{\phi}=\frac{1}{2}(1-\cos{2\phi})\right| =$

$= \int\limits_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \left(1 + 2\sqrt{2}\sin{\phi} + (1-\cos{2\phi})\right) d\phi =$

$= \int\limits_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \left(2 + 2\sqrt{2}\sin{\phi} - \cos{2\phi}\right) d\phi = \left. \left(2t - 2\sqrt{2}\cos{\phi} - \frac{1}{2}\sin{2\phi}\right) \right|_{-\pi / 2}^{\pi / 2} =$

$= \left(2\cdot \frac{\pi}{2} - 2\sqrt{2}\cos{\frac{\pi}{2}} - \frac{1}{2}\sin{\pi}\right) - \left(2\cdot \left(-\frac{\pi}{2}\right) - 2\sqrt{2}\cos{\left(-\frac{\pi}{2}\right)} - \frac{1}{2}\sin{(-\pi)}\right) =$

$= \pi - 0 - \frac{1}{2}\cdot (-1) + \pi + 0 + \frac{1}{2}\cdot (-1) = 2\pi$