Задача Кузнецов Интегралы 16-31

Условие задачи

Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах.

$r=6\sin{\phi},\; r=4\sin{\phi}$

Решение

$S = \frac{1}{2} \int\limits_{\alpha}^{\beta} (r_1^2(\varphi) - r_2^2(\varphi) )\; d\varphi$

Где $\alpha = -\frac{\pi}{2} ;\; \beta = \frac{\pi}{2}$ и тогда получаем:

$S = \frac{1}{2} \int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2} \left(36\sin^2\varphi-16\sin^2\varphi\right)\;d\varphi=$

$= 10 \int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^2\varphi \; d \varphi =$

$= 10 \int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1-\cos 2\varphi}{2} \; d \varphi =$

$= 5 \left( \varphi - \frac{\sin 2\varphi}{2} \right)\Biggr|_{-\pi/2}^{\pi/2} =$

$= 5 \left( \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \sin \pi \right) - 5 \left( -\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \sin (-\pi) \right)=$

$= 5 \cdot \frac{\pi}{2} + 5 \cdot \frac{\pi}{2} = 5 \pi$