Задача Кузнецов Интегралы 17-1

Условие задачи

Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.

$y=\ln{x},\; \sqrt{3} \le x\le \sqrt{15}$

Решение

Длина дуги кривой, заданной уравнением $~y=f(x); \; a \le x \le b$, определяется формулой

$L = \int\limits_a^b\sqrt{1 + (f'(x))^2}\;dx$

Найдем производную данной функции:

$f'(x)=(\ln x)' = \frac{1}{x}$

Тогда по вышеприведенной формуле получаем:

$\begin{align} L & = \int\limits_{\sqrt{3}}^{\sqrt{15}}\sqrt{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2 }\;dx = \\ & = \int\limits_{\sqrt{3}}^{\sqrt{15}}\frac{\sqrt{1+x^2}}{x} \;dx = \begin{vmatrix} x =\mathrm{tg}\,t;\; dx=\frac{dt}{\cos^2{t}} \\ x = \sqrt{3};\;t=\frac{\pi}{3} \\ x = \sqrt{15};\;t=\mathrm{arctg}\,\sqrt{15} \end{vmatrix} = \int\limits_{\pi/3}^{\mathrm{arctg}\,\sqrt{15}} \frac{dt}{ \cos^2{t}\; \cos{t}\; \mathrm{tg}\,{t} } = \\ & = \int\limits_{\pi/3}^{\mathrm{arctg}\,\sqrt{15}} \frac{dt}{ \cos^2{t}\; \sin{t} } = \\ & = \int\limits_{\pi/3}^{\mathrm{arctg}\,\sqrt{15}} \frac{\sin{t}\;dt}{ \cos^2{t}\; \sin^2{t} } = \\ & = \int\limits_{\pi/3}^{\mathrm{arctg}\,\sqrt{15}} \frac{d(\cos{t})}{ \cos^2{t}\cdot(\cos^2{t}-1) } = \\ & = \int\limits_{\pi/3}^{\mathrm{arctg}\,\sqrt{15}} \left(\frac{1}{\cos^2{t}-1}-\frac{1}{\cos^2{t}}\right) d(\cos{t}) = \\ & = \left( \frac{1}{2} \ln\left|\frac{\cos{t}-1}{\cos{t}+1}\right| + \frac{1}{\cos{t}} \right) \biggr|_{\pi/3}^{\mathrm{arctg}\,\sqrt{15}} = \\ & = \frac{1}{2} \ln\left|\frac{\frac{1}{4}-1}{\frac{1}{4}+1}\right| + 4 - \frac{1}{2} \ln\left|\frac{\frac{1}{2}-1}{\frac{1}{2}+1}\right| - 2 = \frac{1}{2} \ln\frac{3}{5} - \frac{1}{2} \ln\frac{1}{3} + 2 = \frac{1}{2} \ln\frac{9}{5} + 2 \end{align}$