Задача Кузнецов Интегралы 17-19

Условие задачи

Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.

$y=\sqrt{x-x^2}-\arccos{\sqrt{x}} +5,\; \frac{1}{9}\le x\le 1$

Решение

Длина дуги кривой, заданной уравнением $~y=f(x); \; a \le x \le b$, определяется формулой

$L = \int\limits_a^b\sqrt{1 + (f'(x))^2}\;dx$

Найдем производную данной функции:

$\begin{align} f'(x) = \left( \sqrt{x-x^2} - \arccos{\sqrt{x}} +5 \right)' & = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{x-x^2}}\cdot(1-2x)+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x}}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}} = \\ & = \frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1-x}}-\frac{2x}{2\sqrt{x}\sqrt{1-x}}+\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1-x}} = \\ & = \frac{1-2x+1}{2\sqrt{x}\sqrt{1-x}} = \sqrt\frac{1-x}{x} \end{align}$

Тогда по вышеприведенной формуле получаем:

$\begin{align} L & = \int\limits_{1/9}^{1} \sqrt{ 1+\left( \sqrt\frac{1-x}{x} \right)^2 }\;dx = \\ & = \int\limits_{1/9}^{1} \sqrt{ 1+\frac{1-x}{x} }\;dx = \\ & = \int\limits_{1/9}^{1} \sqrt{ \frac{x+1-x}{x} }\;dx = \\ & = \int\limits_{1/9}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}}\;dx = 2\sqrt{x}\biggr|_{1/9}^{1} = 2-\frac{2}{\sqrt{9}} = \frac{4}{3} \end{align}$