Задача Кузнецов Интегралы 17-2

Условие задачи

Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.

$y=\frac{x^2}{4}-\frac{\ln{x}}{2},\; 1\le x\le 2$

Решение

Длина дуги кривой, заданной уравнением $~y=f(x); \; a \le x \le b$, определяется формулой

$L = \int\limits_a^b\sqrt{1 + (f'(x))^2}\;dx$

Найдем производную данной функции:

$f'(x)=\left(\frac{x^2}{4}-\frac{\ln x}{2}\right)' = \frac{x}{2}-\frac{1}{2x} = \frac{x^2-1}{2x}$

Тогда по вышеприведенной формуле получаем:

$\begin{align} L & = \int\limits_{1}^{2}\sqrt{1+\left(\frac{x^2-1}{2x}\right)^2 }\;dx = \\ & = \int\limits_{1}^{2}\sqrt{1+\frac{x^4-2x^2+1}{4x^2} }\;dx = \\ & = \int\limits_{1}^{2}\sqrt{\frac{4x^2+x^4-2x^2+1}{4x^2} }\;dx = \\ & = \int\limits_{1}^{2}\sqrt{\frac{x^4+2x^2+1}{4x^2} }\;dx = \\ & = \int\limits_{1}^{2}\sqrt{\left(\frac{x^2+1}{2x}\right)^2 }\;dx = \\ & = \int\limits_{1}^{2}\frac{x^2+1}{2x} \;dx = \\ & = \frac{1}{2} \int\limits_{1}^{2}\left( x+\frac{1}{x} \right) \;dx = \\ & = \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{2}+\ln\left|x\right| \right)\biggr|_{1}^{2} = \frac{1}{2} \left(\left( 2+\ln 2\right) - \left(\frac{1}{2}-0\right)\right) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \ln 2 \end{align}$