Задача Кузнецов Интегралы 17-29

Условие задачи

Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.

$y=\frac{e^{2x}+e^{-2x}+3}{4},\; 0\le x\le 2$

Решение

Длина дуги кривой, заданной уравнением $~y=f(x); \; a \le x \le b$, определяется формулой

$L = \int\limits_a^b\sqrt{1 + (f'(x))^2}\;dx$

Найдем производную данной функции:

$f'(x)=\left(\frac{e^{2x}+e^{-2x}+3}{4}\right)' =\frac{1}{4}\cdot(2e^{2x}-2e^{-2x})=\frac{1}{2}\cdot(e^{2x}-e^{-2x})$

Тогда по вышеприведенной формуле получаем:

$\begin{align} L & = \int\limits_{0}^{2}\sqrt{1+\frac{1}{4} \cdot (e^{2x}-e^{-2x})^2 }\;dx = \\ & = \frac{1}{2} \int\limits_{0}^{2}\sqrt{4+(e^{2x}-e^{-2x})^2 }\;dx = \\ & = \frac{1}{2} \int\limits_{0}^{2}\sqrt{4+e^{4x} -2 +e^{-4x} }\;dx = \\ & = \frac{1}{2} \int\limits_{0}^{2}\sqrt{e^{4x} +2 +e^{-4x} }\;dx = \\ & = \frac{1}{2} \int\limits_{0}^{2}\sqrt{(e^{2x}+e^{-2x})^2 }\;dx = \\ & = \frac{1}{2} \int\limits_{0}^{2} ( e^{2x} + e^{-2x} ) \;dx = \\ & = \frac{1}{2} ( e^{2x} - e^{-2x} )\biggr|_{0}^{2} = \frac{1}{2} ((e^4 - e^{-4}) - (e^0 - e^0)) = \frac{1}{2} ( e^4 - e^{-4}) \end{align}$