Задача Кузнецов Интегралы 17-3

Условие задачи

Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.

$y=\sqrt{1-x^2} +\arcsin{x},\; 0\le x\le \frac{7}{9}$

Решение

Длина дуги кривой, заданной уравнением $~y=f(x); \; a \le x \le b$, определяется формулой

$L = \int\limits_a^b\sqrt{1 + (f'(x))^2}\;dx$

Найдем производную данной функции:

$f'(x)=\left(\sqrt{1-x^2}+\arcsin{x}\right)' = -\frac{2x}{2\sqrt{1-x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \sqrt\frac{1-x}{1+x}$

Тогда по вышеприведенной формуле получаем:

$\begin{align} L & = \int\limits_{0}^{7/9}\sqrt{1+\left(\sqrt\frac{1-x}{1+x}\right)^2 }\;dx = \\ & = \int\limits_{0}^{7/9}\sqrt{1+\frac{1-x}{1+x} }\;dx = \\ & = \int\limits_{0}^{7/9}\sqrt{\frac{1+x+1-x}{1+x} }\;dx = \\ & = \int\limits_{0}^{7/9}\frac{\sqrt{2}\;dx}{\sqrt{1+x}} = \\ & = 2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\biggr|_{0}^{7/9} = 2\sqrt{2}\left( \frac{4}{3} -1 \right) = \frac{2\sqrt{2}}{3} \end{align}$