Задача Кузнецов Интегралы 17-31

Условие задачи

Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.

$y=\frac{1-e^x-e^{-x}}{2},\; 0\le x\le 3$

Решение

Длина дуги кривой, заданной уравнением $~y=f(x); \; a \le x \le b$, определяется формулой

$L = \int\limits_a^b\sqrt{1 + (f'(x))^2}\;dx$

Найдем производную данной функции:

$f'(x)=\left(\frac{1-e^x-e^{-x}}{2}\right)' = \frac{1}{2} \cdot (-e^x+e^{-x})$

Тогда по вышеприведенной формуле получаем:

$\begin{align} L & = \int\limits_{0}^{3}\sqrt{1+\frac{1}{4} \cdot (-e^x+e^{-x})^2 }\;dx = \\ & = \frac{1}{2} \int\limits_{0}^{3}\sqrt{4+(-e^x+e^{-x})^2 }\;dx = \\ & = \frac{1}{2} \int\limits_{0}^{3}\sqrt{4 +e^{2x} -2 +e^{-2x} }\;dx = \\ & = \frac{1}{2} \int\limits_{0}^{3}\sqrt{e^{2x} +2 +e^{-2x} }\;dx = \\ & = \frac{1}{2} \int\limits_{0}^{3}\sqrt{(e^x+e^{-x})^2 }\;dx = \\ & = \frac{1}{2} \int\limits_{0}^{3} ( e^x + e^{-x} ) \;dx = \\ & = \frac{1}{2} ( e^x - e^{-x} )\biggr|_{0}^{3} = \frac{1}{2} (( e^3-e^0) - (e^{-3}-e^0)) = \frac{1}{2} ( e^3 - e^{-3}) \end{align}$