Задача Кузнецов Интегралы 18-1

Условие задачи

Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.

$\begin{cases} x=5\left(t-\sin{t}\right) \\ y=5\left(1-\cos{t}\right) \end{cases}$

$0\le t\le \pi$

Решение

Найдем производные по $t$:

$x_{t}' = 5(1 - \cos{t});~~~y_{t}' = 5\sin{t}.$

$L = 5\int\limits_{0}^{\pi}\sqrt{(1 - \cos{t})^{2} + \sin^{2}{t}}dt = 5\int\limits_{0}^{\pi}\sqrt{1 - 2\cos{t} + \cos^{2}{t} + \sin^{2}{t}}dt =$

$= 5\int\limits_{0}^{\pi}\sqrt{2 - 2\cos{t}}dt = 5\int\limits_{0}^{\pi}\sqrt{4\sin^{2}{\frac{t}{2}}}dt = 10\int\limits_{0}^{\pi}\sin{\frac{t}{2}}dt = -20\left.\cos{{\frac{t}{2}}}\right|_{0}^{\pi} = 20$