Задача Кузнецов Интегралы 18-19

Условие задачи

Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.

$\begin{cases} x=4\left(t-\sin{t}\right) \\ y=4\left(1-\cos{t}\right)\end{cases}$

$\frac{\pi}{2} \le t\le 2\pi$

Решение

Длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, определяется формулой

$L = \int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{(x_{t}')^{2} + (y_{t}')^{2}}dt$

Найдем производные по $~t$ для заданной кривой:

$x=4\left(t-\sin{t}\right) ;\ x_{t}' = 4\left(1-\cos{t}\right)$

$y=4\left(1-\cos{t}\right) ;\ y_{t}' = 4\sin{t}$

Получаем:

$\begin{align} L & = \int\limits_{\pi/2}^{2\pi/3}\sqrt{16\left(1-\cos{t}\right)^2+16\sin^2{t} }\;dt = \\ & = 4 \int\limits_{\pi/2}^{2\pi/3}\sqrt{\left(1-\cos{t}\right)^2+\sin^2{t} }\;dt = \\ & = 4 \int\limits_{\pi/2}^{2\pi/3}\sqrt{1-2\cos{t}+\cos^2{t}+\sin^2{t} }\;dt = \\ & = 4 \int\limits_{\pi/2}^{2\pi/3}\sqrt{2\left(1-\cos{t}\right) }\;dt = \begin{vmatrix} \pi/2 \le t \le 2\pi/3; \ \pi/4 \le t/2 \le \pi/3; \\ \sin(t/2) \ge 0; \\ \sqrt{2\left(1-\cos{t}\right)}=\sqrt{4\sin^2(t/2)} = 2\sin(t/2) \end{vmatrix} = \\ & = 4 \int\limits_{\pi/2}^{2\pi/3}2\sin(t/2)\;dt = 8\int\limits_{\pi/2}^{2\pi/3}\sin(t/2)\;dt = \\ & = -16 \cos(t/2)\biggr|_{\pi/2}^{2\pi/3} = -16 \cdot \left( \cos(\pi/3) - \cos(\pi/4) \right) = -16 \cdot \left( \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 8(\sqrt{2}-1) \end{align}$