Задача Кузнецов Интегралы 18-2

Условие задачи

Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.

$\begin{cases} x=3\left(2\cos{t}-\cos{2t}\right) \\ y=3\left(2\sin{t}-\sin{2t}\right) \end{cases}$

$0\le t\le 2\pi$

Решение

Длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, определяется формулой

$L = \int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{(x'(t) )^{2} + (y'(t) )^{2}}\;dt$

Найдем производные по $~t$ для заданной кривой:

$x=3(2\cos{t}-\cos{2t}) ;\ x'(t) = 3(-2\sin{t}+2\sin{2t}) = 6(\sin{2t}-\sin{t})$

$y=3(2\sin{t}-\sin{2t}) ;\ y'(t) = 3( 2\cos{t}-2\cos{2t}) = 6(\cos{t}-\cos{2t})$

Тогда по вышеприведенной формуле получаем:

$\begin{align} L & = \int\limits_{0}^{2\pi}\sqrt{(6(\sin{2t}-\sin{t}))^2+(6(\cos{t}-\cos{2t}))^2 }\;dt = \\ & = \int\limits_{0}^{2\pi}6\sqrt{ \sin^2{2t}-2\sin{2t}\sin{t}+\sin^2{t}+ \cos^2{t}-2\cos{2t}\cos{t}+\cos^2{2t} }\;dt = \\ & = \int\limits_{0}^{2\pi}6\sqrt{ 1-2\sin{2t}\sin{t}+1-2\cos{2t}\cos{t} }\;dt = \\ & = \int\limits_{0}^{2\pi}6\sqrt{2}\sqrt{ 1-\sin{2t}\sin{t}-\cos{2t}\cos{t} }\;dt = \\ & = \int\limits_{0}^{2\pi}6\sqrt{2}\sqrt{ 1-\sin{t}\cos{t}\sin{t}-(1-\sin^2{t})\cos{t} }\;dt = \\ & = \int\limits_{0}^{2\pi}6\sqrt{2}\sqrt{ 1-\sin^2{t}\cos{t}-\cos{t}+\sin^2{t}\cos{t} }\;dt = \\ & = \int\limits_{0}^{2\pi}6\sqrt{2}\sqrt{ 1-\cos{t} }\;dt = \int\limits_{0}^{2\pi}6\sqrt{2}\sqrt{2}\sin{ \frac{t}{2} }\;dt = \\ & = \int\limits_{0}^{2\pi}12\sin{ \frac{t}{2} }\;dt = \int\limits_{0}^{2\pi}12\cdot2 \sin{ \frac{t}{2} }\;d\left(\frac{t}{2}\right) = 24 \left( -\cos{ \frac{t}{2} } \right) \biggr|_{0}^{2\pi} = - 24 \left( \cos{ \pi } - \cos{ 0 } \right) = - 24 \left( - 1 - 1 \right) = 48 \end{align}$