Задача Кузнецов Интегралы 18-29

Условие задачи

Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.

$\begin{cases} x=2\cos^{3}{t} \\ y=2\sin^{3}{t}\end{cases}$

$0\le t\le \frac{\pi}{4}$

Решение

Длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, определяется формулой

$L = \int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{(x_{t}')^{2} + (y_{t}')^{2}}\;dt$

Из уравнений кривой находим:

$x=2\cos^3{t} ;\ x_{t}' = 2\cdot3\cos^2{t}(\cos{t})'=-6\;\cos^2{t}\;\sin{t}$

$y=2\sin^3{t} ;\ y_{t}' = 2\cdot3\sin^2{t}(\sin{t})'= 6\;\sin^2{t}\;\cos{t}$

Получаем:

$\begin{align} L & = \int\limits_{0}^{\pi/4}\sqrt{\left(-6\;\cos^2{t}\;\sin{t}\right)^2+\left(6\;\sin^2{t}\;\cos{t}\right)^2 }\;dt = \\ & = 6 \int\limits_{0}^{\pi/4}\sqrt{\cos^4{t}\;\sin^2{t}+\sin^4{t}\;\cos^2{t} }\;dt = \\ & = 6 \int\limits_{0}^{\pi/4}\sqrt{\cos^2{t}\;\sin^2{t} }\;\cdot\;\sqrt{\sin^2{t}+\cos^2{t} }\;dt = \\ & = 6 \int\limits_{0}^{\pi/4}\sqrt{\cos^2{t}\;\sin^2{t} }\;\cdot\;\sqrt{1}\;dt = \begin{vmatrix} 0 \le t \le \pi/4; \\ \sin(t) \ge 0; \\ \cos(t) \ge 0 \end{vmatrix} = \\ & = 6 \int\limits_{0}^{\pi/4}{\cos{t}\;\sin{t} }\;dt = \frac{6}{4}\int\limits_{0}^{\pi/4}{\sin(2t) }\;d(2t) = \\ & = -\frac{3}{2}\cdot\cos(2t)\biggr|_{0}^{\pi/4} = -\frac{3}{2}\cdot(\cos\frac{\pi}{2} - \cos 0 ) = -\frac{3}{2}\cdot(0-1)=\frac{3}{2} \end{align}$