Задача Кузнецов Интегралы 18-3

Условие задачи

Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.

$\begin{cases} x=4\left(\cos{t}+t\sin{t}\right) \\ y=4\left(\sin{t}-t\cos{t}\right)\end{cases}$

$0\le t\le 2\pi$

Решение

Длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, определяется формулой

$L = \int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{(x'(t) )^{2} + (y'(t) )^{2}}\;dt$

Найдем производные по $~t$ для заданной кривой:

$x=4\left(\cos{t}+t\sin{t}\right) ;\ x'(t) = 4\left(-\sin{t}+\sin{t}+t\cos{t}\right) = 4t\cos{t}$

$y=4\left(\sin{t}-t\cos{t}\right) ;\ y'(t) = 4\left( \cos{t}-\cos{t}+t\sin{t}\right) = 4t\sin{t}$

Получаем:

$\begin{align} L & = \int\limits_{0}^{2\pi}\sqrt{(2t\cos{t})^2+(2t\sin{t})^2 }\;dt = \\ & = \int\limits_{0}^{2\pi}2t\sqrt{\cos^2{t}+\sin^2{t} }\;dt = \\ & = 2 \int\limits_{0}^{2\pi}t\sqrt{1}\;dt = t^2\biggr|_{0}^{2\pi} = \left( 4\pi^2 - 0 \right) = 4\pi^2 \end{align}$