Задача Кузнецов Интегралы 18-31

Условие задачи

Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.

$\begin{cases} x=\left(t^2-2\right)\sin{t}+2t\cos{t} \\ y=\left(2-t^2\right)\cos{t}+2t\sin{t} \end{cases}$

$0\le t\le \pi$

Решение

Длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, определяется формулой

$L = \int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}dt$

Найдем производные по $~t$ для заданной кривой:

$x=\left(t^2-2\right)\sin{t}+2t\cos{t}$

$x'(t) = 2t\sin{t}+(t^2-2)\cos{t}+2\cos{t}-2t\sin{t}= 2t\sin{t}+t^2\cos{t}-2\cos{t}+2\cos{t}-2t\sin{t}=t^2\cos{t}$

$y=\left(2-t^2\right)\cos{t}+2t\sin{t}$

$y'(t) =-2t\cos{t}-(2-t^2)\sin{t}+2\sin{t}+2t\cos{t}=-2t\cos{t}-2\sin{t}+t^2\sin{t}+2\sin{t}+2t\cos{t}=t^2\sin{t}$

Тогда по приведенной выше формуле имеем:

$\begin{align} L & = \int\limits_{0}^{\pi}\sqrt{(t^2\cos{t})^2+(t^2\sin{t})^2 }\;dt = \\ & = \int\limits_{0}^{\pi}\sqrt{t^4(\cos^2{t}+\sin^2{t}) }\;dt = \int\limits_{0}^{\pi}\sqrt{t^4\cdot1}\;dt = \int\limits_{0}^{\pi}t^2\;dt = \frac{1}{3} \cdot t^3 \biggr|_{0}^{\pi} = \\ & = \frac{1}{3} \cdot \left( \pi^3 - 0^3 \right) = \frac{\pi^3}{3} \end{align}$