Задача Кузнецов Интегралы 19-1

Условие задачи

Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.

$\rho = 3e^{3\varphi / 4},\; -\frac{\pi}{2} \le \varphi \le \frac{\pi}{2}$

Решение

Длина дуги кривой, заданной уравнением в полярных координатах, определяется формулой

$L = \int\limits_{\phi_1}^{\phi_2}\sqrt{ \rho^2 + \left(\frac{d\rho}{d\phi}\right)^2}\;d\phi$

Найдем $~\frac{d\rho}{d\phi} :$

$\frac{d\rho}{d\phi} = 3 \cdot \frac{3}{4} \, e^{3\phi/4} = \frac{9}{4} \, e^{3\phi/4}$

Получаем:

$\begin{align} L & = \int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\sqrt{(3e^{3\phi/4})^2+\left(\frac{9}{4} \, e^{3\phi/4}\right)^2 }\;d\phi = \\ & = \int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\sqrt{\left(9+\frac{81}{16}\right) e^{3\phi/2} }\;d\phi = \\ & = \frac{15}{4}\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}e^{3\phi/4}\;d\phi = \frac{15}{4}\cdot\frac{4}{3}e^{3\phi/4}\biggr|_{-\pi/2}^{\pi/2} = 5 \cdot(e^{3\pi/8} - e^{-3\pi/8} ) = 10 \cdot \mathrm{sh}\,\frac{3\pi}{8} \end{align}$