Задача Кузнецов Интегралы 19-19

Условие задачи

Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.

$\rho = 2\varphi,\; 0 \le \varphi \le \frac{3}{4}$

Решение

Длина дуги кривой, заданной уравнением в полярных координатах, определяется формулой

$L=\int\limits_{\varphi_0}^{\varphi_1}\sqrt{(\rho(\varphi))^2+(\rho'(\varphi))^2}d\varphi$

Для кривой, заданной уравнением $\rho = 2\varphi$, найдем: $\rho' = 2$

Получаем:

$\begin{align} L & = \int\limits_{0}^{3/4} \sqrt{\left(2\varphi\right)^2 + 2^2}d\varphi = \\ & = 2 \int\limits_{0}^{3/4} \sqrt{\varphi^2+1}\;d\varphi =^{(1)} \\ & = 2 \left( \frac{\varphi}{2}\sqrt{\varphi^2+1}\biggr|_{0}^{3/4} + \frac{1}{2} \ln\left|\varphi + \sqrt{\varphi^2+1} \right|\biggr|_{0}^{3/4} \right) = \\ & = 2 \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \sqrt{\frac{9}{16}+1} - 0 \right) + 2 \left( \frac{1}{2} \ln\left|\frac{3}{4} + \sqrt{\frac{9}{16}+1}\right|-\ln\left|0 + \sqrt{0+1}\right| \right) = \\ & = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{\frac{25}{16}} + 2 \left( \frac{1}{2} \ln\left|\frac{3}{4} + \sqrt{\frac{25}{16}}\right| - 0 \right) = \\ & = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{4} + \ln\left|\frac{3}{4} + \frac{5}{4}\right| = \frac{15}{16} + \ln 2 \end{align}$

В $(1)$ мы использовали формулу:

$\begin{align} \int \sqrt{\varphi^2+1}\;d\varphi & = \begin{vmatrix} t = \sqrt{\varphi^2+1} \\ \varphi = \sqrt{t^2-1} \\ d\varphi = \frac{2t}{2\sqrt{t^2-1}} \; dt \end{vmatrix} = \int \frac{t^2}{\sqrt{t^2-1}} \; dt = \begin{vmatrix} dv = \frac{t}{\sqrt{t^2-1} } \; dt \\ v = \sqrt{t^2-1} \\ u = t \\ du = dt \end{vmatrix} = \\ & = t \sqrt{t^2-1} - \int \sqrt{t^2-1} \; dt = \\ & = t \sqrt{t^2-1} - \int \frac{t^2-1}{\sqrt{t^2-1}} \; dt = \\ & = t \sqrt{t^2-1} - \int \frac{t^2}{\sqrt{t^2-1}} \; dt + \int \frac{1}{\sqrt{t^2-1}} \; dt \end{align}$

Таким образом:

$\int\frac{t^2}{\sqrt{t^2-1}}\;dt=t\sqrt{t^2-1}-\int\frac{t^2}{\sqrt{t^2-1}} \; dt + \ln\left| t+ \sqrt{t^2-1}\right|$

$\int\frac{t^2}{\sqrt{t^2-1}}\;dt=\frac{t}{2}\sqrt{t^2-1}+\frac{1}{2}\ln\left| t+ \sqrt{t^2-1}\right|$

Значит:

$\int\sqrt{\varphi^2+1}\;d\varphi = \frac{\varphi}{2}\sqrt{\varphi^2+1}+\frac{1}{2}\ln\left|\varphi+\sqrt{\varphi^2+1}\right|$