Задача Кузнецов Интегралы 19-2

Условие задачи

Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.

$\rho = 2e^{4\varphi / 3},\; -\frac{\pi}{2} \le \varphi \le \frac{\pi}{2}$

Решение

Длина дуги кривой, заданной уравнением в полярных координатах, определяется формулой

$L = \int\limits_{\phi_1}^{\phi_2}\sqrt{ \rho^2 + \left(\frac{d\rho}{d\phi}\right)^2}\;d\phi$

Найдем $~\frac{d\rho}{d\phi} :$

$\frac{d\rho}{d\phi} = 2 \cdot \frac{4}{3} \, e^{4\phi/3} = \frac{8}{3} \, e^{4\phi/3}$

Получаем:

$\begin{align} L & = \int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\sqrt{(2e^{4\phi/3})^2+\left(\frac{8}{3} \, e^{4\phi/3}\right)^2 }\;d\phi = \\ & = \int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\sqrt{\left(4+\frac{64}{9}\right) (e^{4\phi/3})^2 }\;d\phi = \\ & = \frac{10}{3}\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}e^{4\phi/3}\;d\phi = \frac{10}{3}\cdot\frac{3}{4}e^{4\phi/3}\biggr|_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{5}{2} \cdot(e^{2\pi/3} - e^{-2\pi/3} ) = 5 \cdot \mathrm{sh}\,\frac{2\pi}{3} \end{align}$