Задача Кузнецов Интегралы 19-29

Условие задачи

Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.

$\rho = 2\sin{\varphi},\; 0 \le \varphi \le \frac{\pi}{6}$

Решение

$\rho = 2\sin{\varphi},\; 0 \le \varphi \le \frac{\pi}{6}$

$L=\int\limits_0^{\pi/6} \sqrt{\rho^2+(\rho')^2}\,dx$

$\rho'=2(\sin{\varphi})'=2\cos{\varphi}$

$L=\int\limits_0^{\pi/6} \sqrt{(2\sin{\varphi})^2+(2\cos{\varphi})^2}\,d\varphi = 2\int\limits_0^{\pi/6} \sqrt{(\sin{\varphi})^2+(\cos{\varphi})^2}\,d\varphi = 2\int\limits_0^{\pi/6}\,d\varphi = 2\varphi\Bigr|_0^{\pi/6} = 2({\pi/6})-2\cdot0 = \pi/3$