Задача Кузнецов Интегралы 19-3

Условие задачи

Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.

$\rho =\sqrt{2} e^{\varphi},\; -\frac{\pi}{2} \le \varphi \le \frac{\pi}{2}$

Решение

Длина дуги кривой, заданной уравнением в полярных координатах, определяется формулой

$L = \int\limits_{\phi_1}^{\phi_2}\sqrt{ \rho^2 + \left(\frac{d\rho}{d\phi}\right)^2}\;d\phi$

Найдем $~\frac{d\rho}{d\phi} :$

$\frac{d\rho}{d\phi} = \sqrt{2} \, e^{\phi}$

Получаем:

$\begin{align} L & = \int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\sqrt{\left(\sqrt{2} \, e^{\phi}\right)^2+\left(\sqrt{2} \, e^{\phi}\right)^2 }\;d\phi = \\ & = \int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\sqrt{4 e^{2\phi} }\;d\phi = \\ & = 2 \int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}e^{\phi}\;d\phi = 2 \cdot e^{\phi}\biggr|_{-\pi/2}^{\pi/2} = 2 \cdot (e^{\pi/2} - e^{-\pi/2} ) = 4 \cdot \mathrm{sh}\,\frac{\pi}{2} \end{align}$