Задача Кузнецов Интегралы 19-31

Условие задачи

Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.

$\rho = 6\sin{\varphi},\; 0 \le \varphi \le \frac{\pi}{3}$

Решение

$L=\int\limits_0^{\pi/3} \sqrt{\rho^2+(\rho')^2}\,dx$

$\rho'=6(\sin{\varphi})'=6\cos{\varphi}$

$L=\int\limits_0^{\pi/3} \sqrt{(6\sin{\varphi})^2+(6\cos{\varphi})^2}\,d\varphi = 6\int\limits_0^{\pi/3} \sqrt{(\sin{\varphi})^2+(\cos{\varphi})^2}\,d\varphi = 6\int\limits_0^{\pi/3}\,d\varphi = 6\varphi\Bigr|_0^{\pi/3} = 6({\pi/3})-6\cdot0 = 2\pi$