Задача Кузнецов Интегралы 19-9

Условие задачи

Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.

$\rho = 5e^{5\varphi / 12},\; 0 \le \varphi \le \frac{\pi}{3}$

Решение

Длина дуги кривой, заданной уравнением в полярных координатах, определяется формулой

$L = \int\limits_{\phi_1}^{\phi_2}\sqrt{ \rho^2 + \left(\frac{d\rho}{d\phi}\right)^2}\;d\phi$

Найдем $~\frac{d\rho}{d\phi} :$

$\frac{d\rho}{d\phi} = 5 \cdot \frac{5}{12} \, e^{5\phi/12} = \frac{25}{12} \, e^{5\phi/12}$

Получаем:

$\begin{align} L & = \int\limits_{0}^{\pi/3}\sqrt{(5e^{5\phi/12})^2+\left(\frac{25}{12} \, e^{5\phi/12}\right)^2 }\;d\phi = \\ & = \int\limits_{0}^{\pi/3}\sqrt{\left(25+\frac{625}{144}\right) e^{5\phi/6} }\;d\phi = \\ & = \frac{65}{12}\int\limits_{0}^{\pi/3}e^{5\phi/12}\;d\phi = \frac{65}{12}\cdot\frac{12}{5}e^{5\phi/12}\biggr|_{0}^{\pi/3} = 13 \cdot (e^{5\pi/36} - 1) \end{align}$