Задача Кузнецов Интегралы 2-1

Условие задачи

Вычислить определенный интеграл:

$\int\limits_{-2}^0 \left(x^2+5x+6\right)\cos{2x} dx$

Решение

$\int\limits_{-2}^0 \left(x^2+5x+6\right)\cos{2x} dx =$

Обозначим:

$u = x^2+5x+6;\ du = (2x+5)dx$

$dv = \cos{2x}dx;\ v = \frac{1}{2}\sin{2x}$

Воспользуемся формулой интегрирования по частям $\int u\,dv=u\,v-\int v\,du$. Получаем:

$= \left.\left(x^2+5x+6\right)\cdot \frac{1}{2}\sin{2x}\right|_{-2}^0 - \int\limits_{-2}^0 \frac{1}{2}\sin{2x}(2x+5)dx =$

$= \left(0^2+5\cdot 0+6\right)\cdot \frac{1}{2}\sin{(2\cdot 0)} - \left((-2)^2+5\cdot (-2)+6\right)\cdot \frac{1}{2}\sin{(2\cdot (-2))} - \frac{1}{2} \int\limits_{-2}^0 \sin{2x}(2x+5)dx =$

$= 6\cdot \frac{1}{2}\cdot 0 - (4-10+6)\cdot \frac{1}{2}\sin{(-4)} - \frac{1}{2} \int\limits_{-2}^0 \sin{2x}(2x+5)dx = - \frac{1}{2} \int\limits_{-2}^0 \sin{2x}(2x+5)dx =$

Обозначим:

$u = 2x+5;\ du = 2dx$

$dv = \sin{2x}dx;\ v = -\frac{1}{2}\cos{2x}$

Воспользуемся формулой интегрирования по частям $\int u\,dv=u\,v-\int v\,du$. Получаем:

$= -\frac{1}{2}\cdot \left( \left.(2x+5)\cdot \left( -\frac{1}{2}\cos{2x}\right)\right|_{-2}^0 - \int\limits_{-2}^0 \left(-\frac{1}{2}\cos{2x}\right)\cdot 2dx \right)=$

$= -\frac{1}{2}\cdot \left( (2\cdot 0+5)\cdot \left( -\frac{1}{2}\cos{(2\cdot 0)}\right) - (2\cdot (-2)+5)\cdot \left( -\frac{1}{2}\cos{(2\cdot (-2))}\right) + \int\limits_{-2}^0 \cos{2x}dx \right)=$

$= -\frac{1}{2}\cdot \left( -\frac{5}{2} + \frac{\cos{(-4)}}{2} + \left. \frac{1}{2}\sin{2x} \right|_{-2}^0\right) = -\frac{1}{2}\cdot \left( -\frac{5}{2} + \frac{\cos{(4)}}{2} + \frac{1}{2}\sin{(2\cdot 0)} - \frac{1}{2}\sin{(2\cdot (-2))} \right)=$

$= -\frac{1}{2}\cdot \left( -\frac{5}{2} + \frac{\cos{4}}{2} + \frac{1}{2}\sin{4} \right) = \frac{5 - \cos{4} - \sin{4}}{4}$