Задача Кузнецов Интегралы 2-19

Условие задачи

Вычислить определенный интеграл:

$\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \left(1-5x^2\right)\sin{x} dx$

Решение

$\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \left(1-5x^2\right)\sin{x} dx =$

Обозначим:

$u = 1-5x^2;\ du = -10x\cdot dx$

$dv = \sin{x}dx;\ v = -\cos{x}$

Воспользуемся формулой интегрирования по частям $\int u\,dv=u\,v-\int v\,du$. Получаем:

$= \left.\left(1-5x^2\right)\cdot \left( -\cos{x}\right)\right|_0^{\frac{\pi}{2}} - \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \left(-\cos{x}\right)\cdot (-10x)\cdot dx =$

$= \left(1-5\cdot \left(\frac{\pi}{2}\right)^2\right)\cdot \left( -\cos{\frac{\pi}{2}}\right) - \left(1-5\cdot 0^2\right)\cdot \left( -\cos{0}\right) - 10\cdot \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \cos{x}\cdot x \cdot dx =$

$= \left(1-5\cdot \left(\frac{\pi}{2}\right)^2\right)\cdot 0 - 1\cdot ( -1) - 10\cdot \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \cos{x}\cdot x \cdot dx =$

$= 1 - 10\cdot \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \cos{x}\cdot x \cdot dx =$

Обозначим:

$u = x;\ du = dx$

$dv = \cos{x}dx;\ v = \sin{x}$

Воспользуемся формулой интегрирования по частям $\int u\,dv=u\,v-\int v\,du$. Получаем:

$= 1 - 10\cdot \left( \left. x\cdot \sin{x}\right|_0^{\frac{\pi}{2}} - \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin{x}\cdot dx \right)=$

$= 1 - 10\cdot \left( \frac{\pi}{2}\cdot \sin{\frac{\pi}{2}} - 0\cdot \sin{0} - \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin{x}dx \right)=$

$= 1 - 10\cdot \left( \frac{\pi}{2}\cdot 1 - 0 - \left. \left(-\cos{x}\right) \right|_0^{\frac{\pi}{2}}\right)=$

$= 1 - 10\cdot \left( \frac{\pi}{2} + \cos{{\frac{\pi}{2}}} - \cos{0} \right) = 1 - 10\cdot \left(\frac{\pi}{2} + 0 - 1\right) =$

$= 1-5\pi + 10 = 11 - 5\pi$