Задача Кузнецов Интегралы 2-2

Условие задачи

Вычислить определенный интеграл:

$\int\limits_{-2}^0 \left(x^2-4\right)\cos{3x} dx$

Решение

$\int\limits_{-2}^0 \left(x^2-4\right)\cos{3x} dx =$

Обозначим:

$u = x^2-4;\ du = 2x\cdot dx$

$dv = \cos{3x}dx;\ v = \frac{1}{3}\sin{3x}$

Воспользуемся формулой интегрирования по частям $\int u\,dv=u\,v-\int v\,du$. Получаем:

$= \left.\left(x^2-4\right)\cdot \frac{1}{3}\sin{3x}\right|_{-2}^0 - \int\limits_{-2}^0 \frac{1}{3}\sin{3x}\cdot 2x\cdot dx =$

$= \left(0^2-4\right)\cdot \frac{1}{3}\sin{(3\cdot 0)} - \left((-2)^2-4\right)\cdot \frac{1}{3}\sin{(3\cdot (-2))} - \frac{2}{3} \int\limits_{-2}^0 \sin{3x}\cdot x\cdot dx =$

$= -4\cdot \frac{1}{3}\cdot 0 - (4-4)\cdot \frac{1}{3}\sin{(-6)} - \frac{2}{3} \int\limits_{-2}^0 \sin{3x}\cdot x\cdot dx = - \frac{2}{3} \int\limits_{-2}^0 \sin{3x}\cdot x\cdot dx =$

Обозначим:

$u = x;\ du = dx$

$dv = \sin{3x}dx;\ v = -\frac{1}{3}\cos{3x}$

Воспользуемся формулой интегрирования по частям $\int u\,dv=u\,v-\int v\,du$. Получаем:

$= -\frac{2}{3}\cdot \left( \left.x\cdot \left( -\frac{1}{3}\cos{3x}\right)\right|_{-2}^0 - \int\limits_{-2}^0 \left(-\frac{1}{3}\cos{3x}\right)dx \right)=$

$= -\frac{2}{3}\cdot \left( 0\cdot \left( -\frac{1}{3}\cos{(3\cdot 0)}\right) - (-2)\cdot \left( -\frac{1}{3}\cos{(3\cdot (-2))}\right) + \frac{1}{3}\int\limits_{-2}^0 \cos{3x}dx \right)=$

$= -\frac{2}{3}\cdot \left( -\frac{2}{3}\cos{(-6)} + \left. \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\sin{3x} \right|_{-2}^0\right)=$

$= -\frac{2}{3}\cdot \left( -\frac{2}{3}\cos{6} + \frac{1}{9}\sin{(3\cdot 0)} - \frac{1}{9}\sin{(3\cdot (-2))}\right)=$

$= -\frac{2}{3}\cdot \left( -\frac{2}{3}\cos{6} + \frac{1}{9}\sin{6}\right) = \frac{4}{9}\cos{6} - \frac{2}{27}\sin{6} = \frac{12\cos{6} - 2\sin{6}}{27}$