Задача Кузнецов Интегралы 2-29

Условие задачи

Вычислить определенный интеграл:

$\int\limits_{-1}^1 x^2\cdot e^{-\frac{x}{2}} dx$

Решение

$\int\limits_{-1}^1 x^2\cdot e^{-\frac{x}{2}} dx =$

Обозначим:

$u =x^2;\ du = 2x\cdot dx$

$dv = e^{-\frac{x}{2}}\cdot dx;\ v = -2e^{-\frac{x}{2}}$

Воспользуемся формулой интегрирования по частям $\int u\,dv=u\,v-\int v\,du$. Получаем:

$= \left.x^2\cdot \left( -2e^{-\frac{x}{2}}\right)\right|_{-1}^1 - \int\limits_{-1}^1 \left( -2e^{-\frac{x}{2}}\right)\cdot 2x\cdot dx = 1^2\cdot \left( -2e^{-\frac{1}{2}}\right) - (-1)^2\cdot \left( -2e^{-\frac{-1}{2}}\right) + 4\cdot \int\limits_{-1}^1 x\cdot e^{-\frac{x}{2}}\cdot dx =$

$= -\frac{2}{\sqrt{e}} +2\sqrt{e} + 4\cdot \int\limits_{-1}^1 x\cdot e^{-\frac{x}{2}}\cdot dx =$

Обозначим:

$u = x;\ du = dx$

$dv = e^{-\frac{x}{2}}\cdot dx;\ v = -2e^{-\frac{x}{2}}$

Воспользуемся формулой интегрирования по частям $\int u\,dv=u\,v-\int v\,du$. Получаем:

$= -\frac{2}{\sqrt{e}} +2\sqrt{e} + 4\cdot \left( \left. x\cdot \left( -2e^{-\frac{x}{2}}\right)\right|_{-1}^1 - \int\limits_{-1}^1\left( -2e^{-\frac{x}{2}}\right)dx \right) =$

$= -\frac{2}{\sqrt{e}} +2\sqrt{e} + 4\cdot \left( 1\cdot \left( -2e^{-\frac{1}{2}}\right) - (-1)\cdot \left( -2e^{-\frac{-1}{2}}\right) + 2\cdot \int\limits_{-1}^1 e^{-\frac{x}{2}}dx \right)=$

$= -\frac{2}{\sqrt{e}} +2\sqrt{e} + 4\cdot \left( -\frac{2}{\sqrt{e}} - 2\sqrt{e} + 2\cdot \left. \left(-2e^{-\frac{x}{2}}\right)\right|_{-1}^1 \right)=$

$= -\frac{2}{\sqrt{e}} +2\sqrt{e} + 4\cdot \left( -\frac{2}{\sqrt{e}} - 2\sqrt{e} -4e^{-\frac{1}{2}} + 4e^{-\frac{-1}{2}}\right)=$

$= -\frac{2}{\sqrt{e}} +2\sqrt{e} + 4\cdot \left( -\frac{2}{\sqrt{e}} - 2\sqrt{e} -\frac{4}{\sqrt{e}} + 4\sqrt{e}\right)=$

$= -\frac{2}{\sqrt{e}} +2\sqrt{e} + 4\cdot \left( -\frac{6}{\sqrt{e}} + 2\sqrt{e}\right) = -\frac{2}{\sqrt{e}} +2\sqrt{e} -\frac{24}{\sqrt{e}} + 8\sqrt{e} = -\frac{26}{\sqrt{e}} +10\sqrt{e}$