Задача Кузнецов Интегралы 2-3

Условие задачи

Вычислить определенный интеграл:

$\int\limits_{-1}^0 \left(x^2+4x+3\right)\cos{x} dx$

Решение

$\int\limits_{-1}^0 \left(x^2+4x+3\right)\cos{x} dx =$

Обозначим:

$u = x^2+4x+3;\ du = (2x+4)dx$

$dv = \cos{x}dx;\ v = \sin{x}$

Воспользуемся формулой интегрирования по частям $\int u\,dv=u\,v-\int v\,du$. Получаем:

$= \left.\left(x^2+4x+3\right)\sin{x}\right|_{-1}^0 - \int\limits_{-1}^0 \sin{x}(2x+4)dx =$

$= \left(0^2+4\cdot 0+3\right)\sin{0} - \left((-1)^2+4\cdot (-1)+3\right)\sin{(-1)} - \int\limits_{-1}^0 \sin{x}(2x+4)dx =$

$= 3\cdot 0 - (1-4+3)\sin{(-1)} - \int\limits_{-1}^0 \sin{x}(2x+4)dx = - \int\limits_{-1}^0 \sin{x}(2x+4)dx =$

Обозначим:

$u = 2x+4;\ du = 2dx$

$dv = \sin{x}dx;\ v = -\cos{x}$

Воспользуемся формулой интегрирования по частям $\int u\,dv=u\,v-\int v\,du$. Получаем:

$= -\left( \left.(2x+4)\cdot \left( -\cos{x}\right)\right|_{-1}^0 - \int\limits_{-1}^0 \left(-\cos{x}\right)\cdot 2dx \right)=$

$= -\left( (2\cdot 0+4)\cdot \left( -\cos{0}\right) - (2\cdot (-1)+4)\cdot \left( -\cos{(-1)}\right) + 2\int\limits_{-1}^0 \cos{x}dx \right)=$

$= -\left( -4 + 2\cos{(-1)} + \left. 2\sin{x} \right|_{-1}^0\right) = -\left( -4 + 2\cos{1} + 2\sin{0} - 2\sin{(-1)} \right)=$

$= -\left( -4 + 2\cos{1} + 2\sin{1} \right) = 4 - 2\cos{1} - 2\sin{1}$