Задача Кузнецов Интегралы 2-31

Условие задачи

Вычислить определенный интеграл:

$\int\limits_{-2}^0 \left(x^2+2\right)e^{\frac{x}{2}} dx$

Решение

$\int\limits_{-2}^0 \left(x^2+2\right)e^{\frac{x}{2}} dx =$

Обозначим:

$u =\left(x^2+2\right);\ du = 2x\cdot dx$

$dv = e^{\frac{x}{2}}\cdot dx;\ v = 2e^{\frac{x}{2}}$

Воспользуемся формулой интегрирования по частям $\int u\,dv=u\,v-\int v\,du$. Получаем:

$= \left. \left(x^2+2\right)\cdot 2e^{\frac{x}{2}}\right|_{-2}^0 - \int\limits_{-2}^0 2e^{\frac{x}{2}}\cdot 2x\cdot dx = \left(0^2+2\right)\cdot 2e^{\frac{0}{2}} - \left((-2)^2+2\right)\cdot 2e^{\frac{-2}{2}} - 4\cdot \int\limits_{-2}^0 x\cdot e^{\frac{x}{2}}\cdot dx =$

$= 4 -\frac{12}{e} - 4\cdot \int\limits_{-2}^0 x\cdot e^{\frac{x}{2}}\cdot dx =$

Обозначим:

$u = x;\ du = dx$

$dv = e^{\frac{x}{2}}\cdot dx;\ v = 2e^{\frac{x}{2}}$

Воспользуемся формулой интегрирования по частям $\int u\,dv=u\,v-\int v\,du$. Получаем:

$= 4 -\frac{12}{e} - 4\cdot \left( \left. x\cdot 2e^{\frac{x}{2}}\right|_{-2}^0 - \int\limits_{-2}^0 2e^{\frac{x}{2}}dx \right) =$

$= 4 -\frac{12}{e} - 4\cdot \left( 0\cdot 2e^{\frac{0}{2}} - (-2)\cdot 2e^{\frac{-2}{2}} - 2\cdot \int\limits_{-2}^0 e^{\frac{x}{2}}dx \right)=$

$= 4 -\frac{12}{e} - 4\cdot \left( \frac{4}{e} - 2\cdot \left. 2e^{\frac{x}{2}}\right|_{-2}^0 \right) = 4 -\frac{12}{e} - 4\cdot \left( \frac{4}{e} - 4e^{\frac{0}{2}} + 4e^{\frac{-2}{2}} \right)=$

$= 4 -\frac{12}{e} - 4\cdot \left( \frac{4}{e} - 4 + \frac{4}{e} \right) = 4 -\frac{12}{e} - 4\cdot \left( \frac{8}{e} - 4 \right)=$

$= 4 -\frac{12}{e} - \frac{32}{e} + 16 = 20 - \frac{44}{e}$