Задача Кузнецов Интегралы 2-9

Условие задачи

Вычислить определенный интеграл:

$\int\limits_0^{2\pi} \left(3x^2+5\right)\cos{2x} dx$

Решение

$\int\limits_0^{2\pi} \left(3x^2+5\right)\cos{2x} dx =$

Обозначим:

$u = 3x^2+5;\ du = 6x\cdot dx$

$dv = \cos{2x}dx;\ v = \frac{1}{2}\sin{2x}$

Воспользуемся формулой интегрирования по частям $\int u\,dv=u\,v-\int v\,du$. Получаем:

$= \left.\left(3x^2+5\right)\cdot \frac{1}{2}\sin{2x}\right|_0^{2\pi} - \int\limits_0^{2\pi} \frac{1}{2}\sin{2x}\cdot 6x\cdot dx =$

$= \left(3\cdot (2\pi)^2+5\right)\cdot \frac{1}{2}\sin{(2\cdot 2\pi)} - \left(3\cdot 0^2+5\right)\cdot \frac{1}{2}\sin{(2\cdot 0)} - 3\int\limits_0^{2\pi} \sin{2x}\cdot x\cdot dx =$

$= \left(12\pi^2+5\right)\cdot \frac{1}{2}\cdot 0 - 5\cdot \frac{1}{2}\cdot 0 - 3\int\limits_0^{2\pi} \sin{2x}\cdot x\cdot dx = -3\int\limits_0^{2\pi} \sin{2x}\cdot x\cdot dx =$

Обозначим:

$u = x;\ du = dx$

$dv = \sin{2x}dx;\ v = -\frac{1}{2}\cos{2x}$

Воспользуемся формулой интегрирования по частям $\int u\,dv=u\,v-\int v\,du$. Получаем:

$= -3 \left( \left. x\cdot \left( -\frac{1}{2}\cos{2x}\right)\right|_0^{2\pi} - \int\limits_0^{2\pi} \left(-\frac{1}{2}\cos{2x}\right)dx \right)=$

$= -3 \left( 2\pi\cdot \left( -\frac{1}{2}\cos{(2\cdot 2\pi)}\right) - 2\cdot 0\cdot \left( -\frac{1}{2}\cos{(2\cdot 0)}\right) + \frac{1}{2}\int\limits_0^{2\pi} \cos{2x}dx \right)=$

$= -3 \left( -\pi + \left. \frac{1}{4}\sin{2x} \right|_0^{2\pi}\right) = -3 \left( -\pi + \frac{1}{4}\sin{(2\cdot 2\pi)} - \frac{1}{4}\sin{(2\cdot 0)} \right)=$

$= -3\left( -\pi + 0 - 0 \right) = 3\pi$