Задача Кузнецов Интегралы 20-1

Условие задачи

Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.

$\frac{x^2}{9}+y^2=1,\; z=y,\; z=0\; (y\ge 0)$

Решение

Основание рассматриваемой области - полуэллипс, в котором

$x=0$ при $y=1$

$y=0$ при $x=3$

То есть, $x \in [-3,\; 3], y \in [0,\;1]$

Поэтому объём будет

$V = \int\limits_{-3}^{3} \; dx \; \int\limits_{0}^{\sqrt{1-x^2/9}} \; dy \; \int\limits_{0}^{y} \; dz \;$

Рассмотрим поверхность $z = y:$

$V_{z}= \int\limits_0^{\sqrt{1-x^2/9}} z \,dy = \int\limits_0^{\sqrt{1-x^2/9}} y \,dy = \frac{y^2}{2}\Biggr|_0^{\sqrt{1-x^2/9}} = \frac{1}{2}\cdot \left(1-\frac{x^2}{9}\right)$

Теперь рассмотрим площадь основания и найдем объем данного тела:

$V = \frac{1}{2}\int\limits_{-3}^{3} \Bigl( 1-\frac{x^2}{9} \Bigr) \,dx = \frac{1}{2}\Bigl( x - \frac{x^3}{9 \cdot 3} \Bigr)\Bigr|_{-3}^{3} \,dx = \frac{1}{2}\Bigl(3-\frac{3^3}{27}\Bigr) - \frac{1}{2}\Bigl(-3-\frac{-3^3}{27}\Bigr)$

$~ = \frac{1}{2}\Bigl(3-1\Bigr) - \frac{1}{2}\Bigl(-3+1\Bigr) = 1 + 1 = 2$

Ответ: $V=2$