Задача Кузнецов Интегралы 20-19

Условие задачи

Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.

$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}-\frac{z^2}{100}=-1,\; z=20$

Решение

В сечении данной фигуры плоскостью $z=const$ находится эллипс:

$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = \frac{z^2}{100}-1$

Площадь эллипса описываемого формулой: $~\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1$ равна $~\pi \cdot a \cdot b$

Найдем радиуса эллипса:

$\frac{x^2}{ 9\cdot\frac{z^2-100}{100}} + \frac{y^2}{25\cdot\frac{z^2-100}{100}} = 1 \; \rightarrow \; a = \frac{3}{10}\sqrt{z^2-100} ; \; b = \frac{1}{2} \sqrt{z^2-100}$

$\Rightarrow S = \pi a b = \pi \cdot\frac{3}{10}\sqrt{ z^2 - 100} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{ z^2 - 100} = \frac{3\pi}{20} \cdot( z^2 - 100)$

$V = \int\limits_{10}^{20} S(z)\;dz = \frac{3\pi}{20} \int\limits_{10}^{20} (z^2-100) \; dz = \frac{3\pi}{20} \left(\frac{z^3}{3} - 100z \right)\Biggr|_{10}^{20} =$

$= \frac{3\pi}{20} \left(\frac{20^3}{3} - 100 \cdot 20 - \frac{10^3}{3} + 100 \cdot 10 \right) = \frac{ \pi}{20} \left(3\cdot \frac{8000}{3} - 3 \cdot 2000 - 3\cdot \frac{1000}{3} + 3 \cdot 1000 \right) = 200 \pi$