Задача Кузнецов Интегралы 20-2

Условие задачи

Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.

$z=x^2+4y^2,\; z=2$

Решение

В сечении данной фигуры плоскостью $z=const$ находится эллипс:

$~x^2 + 4y^2 = z$

Площадь эллипса описываемого формулой: $~\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1$ равна $~\pi \cdot a \cdot b$

Найдем радиуса эллипса:

$\frac{x^2}{z} + \frac{4y^2}{z} = 1 \; \rightarrow \; a = \sqrt{z} ; \; b = \frac{\sqrt{z}}{2}$

$\Rightarrow S = \pi a b = \pi \cdot \sqrt{ z} \cdot \frac{\sqrt{ z}}{2} = \frac{ \pi \cdot z }{2}$

$V = \int\limits_0^{2} S(z)\;dz = \frac{\pi}{2} \int\limits_0^{2} z \; dz = \frac{\pi}{2} \left(\frac{z^2}{2} \right)\Biggr|_0^{2} =$

$= \frac{\pi}{4} \left( 2^2 - 0^2 \right) = \pi$