Задача Кузнецов Интегралы 20-29

Условие задачи

Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.

$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}-\frac{z^2}{64}=-1,\; z=16$

Решение

В сечении данной фигуры плоскостью $z=const$ находится эллипс:

$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = \frac{z^2}{64}-1$

Площадь эллипса описываемого формулой: $~\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1$ равна $~\pi \cdot a \cdot b$

Найдем радиуса эллипса:

$\frac{x^2}{16\cdot\frac{z^2-64}{64}} + \frac{y^2}{ 9\cdot\frac{z^2-64}{64}} = 1 \; \rightarrow \; a = \frac{1}{2}\sqrt{z^2-64} ; \; b = \frac{3}{8}\sqrt{z^2-64}$

$\Rightarrow S = \pi a b = \pi \cdot \frac{1}{2}\sqrt{ z^2 - 64} \cdot \frac{3}{8}\sqrt{ z^2 - 64} = \frac{3\pi}{16} \cdot( z^2 - 64)$

$V = \int\limits_8^{16} S(z)\;dz = \frac{3\pi}{16} \int\limits_8^{16} (z^2-64) \; dz = \frac{3\pi}{16} \left(\frac{z^3}{3} - 64z \right)\Biggr|_8^{16} =$

$= \frac{3\pi}{16} \left(\frac{16^3}{3} - 64 \cdot 16 - \frac{8^3}{3} + 64 \cdot 8 \right) = \frac{ \pi}{16} \left(3\cdot\frac{4096}{3} - 3\cdot 1024 - 3\cdot\frac{512}{3} + 3\cdot 512 \right) =$

$= \frac{ \pi}{16} \left( 4096 - 3072 - 512 + 1536 \right) = 128 \pi$