Задача Кузнецов Интегралы 20-3

Условие задачи

Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.

$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}-z^2=1,\; z=0,\; z=3$

Решение

В сечении данной фигуры плоскостью $z=const$ находится эллипс:

$~\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = z^2 + 1$

Площадь эллипса описываемого формулой: $~\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1$ равна $~\pi \cdot a \cdot b$

Найдем радиуса эллипса:

$\frac{x^2}{9\cdot(z^2+1)} + \frac{y^2}{4\cdot(z^2+1)} = 1 \; \rightarrow \; a = 3 \sqrt{z^2+1} ; \; b = 2 \sqrt{z^2+1}$

$\Rightarrow S = \pi a b = \pi \cdot 3 \sqrt{ z^2 + 1} \cdot 2 \sqrt{ z^2 + 1} = 6 \pi \cdot( z^2 + 1)$

$V = \int\limits_0^{3} S(z)\;dz = 6\pi \int\limits_0^{3} (z^2+1) \; dz = 6\pi \left(\frac{z^3}{3} + z \right)\Biggr|_0^{3} =$

$= 6\pi \left(\frac{3^3}{3} + 3 - \frac{0^3}{3} - 0 \right) = 6\pi \left(9 + 3 - 0 - 0 \right) = 72 \pi$