Задача Кузнецов Интегралы 20-31

Условие задачи

Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.

$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{196}=1,\; z=7,\; z=0$

Решение

В сечении данной фигуры плоскостью $z=const$ находится эллипс:

$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = \frac{196-z^2}{196}$

Площадь эллипса с радиусами $~a$ и $~b$ равна $~\pi \cdot a \cdot b$

По определения радиуса эллипса:

$\frac{x^2}{16\cdot\frac{196-z^2}{196}} + \frac{y^2}{ 9\cdot\frac{196-z^2}{196}} = 1 \; \rightarrow \; a = \frac{2}{7} \sqrt{196-z^2} ; \; b = \frac{3}{14}\sqrt{196-z^2}$

$\Rightarrow S = \pi a b = \pi \cdot \frac{2}{7} \sqrt{196-z^2} \cdot \frac{3}{14}\sqrt{196-z^2} = \frac{3\pi}{49} \cdot(196-z^2)$

$V = \int\limits_0^7 S(z)\;dz = \frac{3\pi}{49} \int\limits_0^7 (196-z^2) \; dz = \frac{3\pi}{49} \left(196z - \frac{z^3}{3} \right)\Biggr|_0^7 =$

$= \frac{3\pi}{49} \left(196 \cdot 7 - \frac{7^3}{3} - 196 \cdot 0 + \frac{0^3}{3}\right) = \frac{ \pi}{49} \left(3\cdot1372 - 3\cdot\frac{343}{3} \right) = \frac{3773 \cdot \pi}{49} = 77 \pi$