Задача Кузнецов Интегралы 21-1

Условие задачи

Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций. Ось вращения $Ox$.

$y=-x^2+5x-6,\; y=0$

Решение

Поскольку ось $~Ox$ является осью вращения, то объём находится по формуле:

$~V = \pi \cdot \int\limits_a^b y^2\;dx$

Найдем пределы интегрирования:

$~y = -x^2 + 5x -6 = 0 \; \Rightarrow \; x_1 = 2 ;\; x_2 = 3$

Найдем объём тела:

$~V = \pi \cdot \int\limits_2^3 \left( -x^2 + 5x -6 \right)^2 \; dx =$

$= \pi \cdot \int\limits_2^3 \left( 36 - 60x + 37 x^2 - 10 x^3 + x^4 \right) \; dx =$

$= \pi \cdot \left( 36x - \frac{60x^2}{2} + \frac{37 x^3}{3} - \frac{10 x^4}{4} + \frac{x^5}{5} \right) \Biggr|_2^3 =$

$= \frac{\pi}{30}$