Задача Кузнецов Интегралы 21-19

Условие задачи

Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций. Ось вращения $Oy$.

$y=x^2,\; x=2,\; y=0$

Решение

Поскольку ось $~Oy$ является осью вращения, то объём находится по формуле:

$~V = \pi \cdot \int\limits_a^b x^2\;dy$

Выразим $~x$ через $~y$ и найдем пределы интегрирования:

$~y=x^2 \; \Rightarrow \; x = \sqrt{y}$

Из условия задачи уже имеем: $~y_1 = 0.$ Теперь найдем верхний предел:

$~y=x^2; x=2 \; \Rightarrow \; y_2 = 2^2 = 4$

Найдем объём тела, как разность объёмов двух тел вращения:

$~V = \pi \cdot \int\limits_0^4 \left( 2 \right)^2 \; dy - \pi \cdot \int\limits_0^4 \left( \sqrt{y} \right)^2 \; dy = \pi \cdot \int\limits_0^4 \left( 4 - y \right) \; dy =$

$= \pi \cdot \left( 4y - \frac{y^2}{2} \right) \Biggr|_0^4 = \pi \cdot ( ( 16 - 8 ) - (0-0) ) = 8 \pi$