Задача Кузнецов Интегралы 21-2

Условие задачи

Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций. Ось вращения $Ox$.

$2x-x^2-y=0,\; 2x^2-4x+y=0$

Решение

Поскольку ось $~Ox$ является осью вращения, то объём находится по формуле:

$~V = \pi \cdot \int\limits_a^b y^2\;dx$

Найдем пределы интегрирования:

$~y = 2x - x^2 = 4x - 2 x^2 \; \Rightarrow \; x_1 = 0 ;\; x_2 = 2$

Найдем объём тела, как разность объёмов двух тел вращения:

$~V = \pi \cdot \int\limits_0^2 \left( 4x-2x^2 \right)^2 - \left( 2x-x^2 \right)^2 \; dx =$

$= \pi \cdot \int\limits_0^2 \left( 3x^4 - 12x^3 + 12 x^2\right) \; dx =$

$= \pi \cdot \left( \frac{3x^5}{5} - \frac{12 x^4}{4} + \frac{12 x^3}{3} \right) \Biggr|_0^2 =$

$= \pi \cdot \left( \frac{3 \cdot 32}{5} - 3 \cdot 16 + 4 \cdot 8 \right) =$

$= \pi \cdot \left( \frac{96}{5} - 48 + 32 \right) = \pi \cdot \frac{96-80}{5} = \frac{16\pi}{5}$