Задача Кузнецов Интегралы 21-29

Условие задачи

Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций. Ось вращения $Oy$.

$y=x^3,\; y=x$

Решение

Поскольку ось $~Oy$ является осью вращения, то объём находится по формуле:

$~V = \pi \cdot \int\limits_a^b x^2\;dy$

Выразим $~x$ через $~y$ и найдем пределы интегрирования:

$~y=x^3 \; \Rightarrow \; x = \sqrt[3]{y}$

$~y=x \; \Rightarrow \; x = y$

$~y=x^3=x \; \Rightarrow \; x_1 = 0;\;x_2=1$

Найдем объём тела, как разность объёмов двух тел вращения:

$~V = \pi \cdot \int\limits_0^1 \left( \sqrt[3]{y} \right)^2 \; dy - \pi \cdot \int\limits_0^1 y^2 \; dy = \pi \cdot \int\limits_0^1 \left( y^{2/3} - y^2 \right) \; dy =$

$= \pi \cdot \left( \frac{3}{5}\cdot y^{5/3} - \frac{y^3}{3} \right) \Biggr|_0^1 = \pi \cdot \left( \frac{3}{5} - \frac{1}{3} \right) - (0-0) = \frac{4\pi}{15}$