Задача Кузнецов Интегралы 21-3

Условие задачи

Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций. Ось вращения $Ox$.

$y=3\sin{x},\; y=\sin{x},\; 0\le x\le \pi$

Решение

Поскольку ось $~Ox$ является осью вращения, то объём находится по формуле:

$~V = \pi \cdot \int\limits_a^b y^2\;dx$

Пределы интегрирования: $~x_1 = 0; x_2 = \pi$

Найдем объём тела, как разность объёмов двух тел вращения:

$~V = \pi \cdot \int\limits_0^{\pi} \left( 9\sin^2 x - \sin^2 x\right) \; dx =$

$= 8 \pi \cdot \int\limits_0^{\pi} \sin^2{x} \; dx =$

$= 4 \pi \cdot \int\limits_0^{\pi} ( 1 - \cos{2x} ) \; dx =$

$= 4 \pi \cdot \left( x - \frac{\sin{2x}}{2} \right) \Biggr|_0^{\pi} =$

$= 4 \pi \cdot \left( \pi - 0 \right) - ( 0 - 0 ) = 4 \pi^2$