Задача Кузнецов Интегралы 21-31

Условие задачи

Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций. Ось вращения $Oy$.

$y=(x-1)^2,\; x=0,\; x=2,\; y=0$

Решение

Поскольку ось $~Oy$ является осью вращения, то объём находится по формуле:

$~V = \pi \cdot \int\limits_a^b x^2\;dy$

Выразим $~x$ через $~y$ и найдем пределы интегрирования:

$~y=(x-1)^2 \; \Rightarrow \; x = 1\pm\sqrt{y}$

Из условия задачи уже имеем: $~y_1 = 0.$ Теперь найдем верхний предел:

$~y=(x-1)^2; x=0 \; \Rightarrow \; y_1(0) = (0-1)^2 = 1$

$~y=(x-1)^2; x=2 \; \Rightarrow \; y_1(2) = (2-1)^2 = 1$

Найдем объём правой области, как разность объёмов двух тел вращения:

$~V_1=\pi \cdot \int\limits_0^1 \left( 2 \right)^2 - \left( 1+\sqrt{y} \right)^2 \; dy =$

$= \pi \cdot \int\limits_0^1 4 - \left( 1 + 2 \sqrt{y} + y \right) \; dy =$

$= \pi \cdot \int\limits_0^1 \left( 3-2y^{1/2}-y \right) \; dy =$

$= \pi \cdot \left( 3y - 2\cdot \frac{2}{3} \cdot y^{3/2} - \frac{y^2}{2} \right) \Biggr|_0^1 = \pi \cdot \left( 3 - \frac{4}{3} \cdot 1 - \frac{1}{2} \right) = \frac{7 \pi}{6}$

Найдем объём левой области:

$~V_2=\pi \cdot \int\limits_0^1 \left( 1-\sqrt{y} \right)^2 \; dy =$

$= \pi \cdot \int\limits_0^1 \left( 1-2\sqrt{y}+y \right) \; dy =$

$= \pi \cdot \int\limits_0^1 \left( 1-2 y^{1/2}+y \right) \; dy =$

$= \pi \cdot \left( y - 2\cdot \frac{2}{3} \cdot y^{3/2} + \frac{y^2}{2}\right) \Biggr|_0^1 = \pi \cdot \left( 1 - \frac{4}{3} \cdot 1 + \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{6}$

И в итоге получаем:

$~V = V_1 + V_2 = \frac{7 \pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{3}$