Задача Кузнецов Интегралы 22-19

Условие задачи

Определить работу (в джоулях), совершаемую при подъеме спутника с поверхности Земли на высоту $H$ км. Масса спутника равна $m$ т, радиус Земли $R_3 = 6380$ км. Ускорение свободного падения $g$ у поверхности Земли положить равным 10 м/с².

$m=3{,}0$ т, $H=600$ км.

Решение

По определению элементарная работа $\Delta A = F(x) \Delta x$, где $F(x) = G\cdot\frac{m\cdot M}{\left(R_3+x\right)^{2}}; G = 6,67\cdot 10^{-11}$ Н*м*м / (кг*кг)

$F_x = G\cdot\frac{m\cdot M}{(R_3 + x)^{2}}\;-\;$сила притяжения на высоте $x$

$F_0 = G\cdot\frac{m\cdot M}{R^2_3} = mg\;-\;$сила притяжения на поверхности Земли

$dA = \frac{m\cdot g \cdot R^2_3}{(R_3 + x)^{2}}\;dx \Rightarrow$

$\Rightarrow A = \int\limits_0^H \frac{m\cdot g \cdot R^2_3}{(R_3 + x)^{2}}\;d\left( R_3 + x \right) = - m \cdot g \cdot R^2_3 \cdot \frac{1}{R_3 + x} \Biggr|_0^H = m \cdot g \cdot R^2_3 \cdot \left(\frac{1}{R_3}-\frac{1}{R_3 + H} \right) =$

$~= 3 \cdot 10^3 [kg] \cdot 10\;[\frac{m}{c^2}] \cdot (6380 \cdot 10^3 [m])^2 \cdot \left(\frac{1}{6380 \cdot 10^3 [m]}-\frac{1}{6380 \cdot 10^3[m] + 600 \cdot 10^3 [m]} \right) = 16\,452\,722\,063\;\;[$Дж$~]$