Задача Кузнецов Интегралы 22-31

Условие задачи

Цилиндр наполнен газом под атмосферным давлением (103,3 кПа). Считая газ идеальным, определить работу (в джоулях) при изотермическом сжатии газа поршнем, переместившимся внутрь цилиндра на $h$ м (см. рис.).
Указание: Уравнение состояния газа $\rho V = const$, где $\rho$ – давление, $V$ – объем.

$H=2{,}0$ м, $h=1{,}0$ м, $R=0{,}4$ м.

Решение

Площадь поршня: $~S = \pi R^2$

Объём газа в процессе сжатия: $~V(x) = S\cdot(H-x); 0 \le x \le h$

Давление газа в процессе сжатия: $~p(x) = \frac{p_0 \cdot S \cdot H}{V(x)}$

Сила давления на поршень: $~F(x) = p(x) \cdot S$

По определению элементарная работа $\Delta A = F(x) \Delta x \Rightarrow$

$\Rightarrow dA = \frac{p_0 \cdot S \cdot H}{S \cdot (H-x)} \cdot S\;dx = \frac{p_0 \cdot S \cdot H}{H-x} \; dx\Rightarrow$

$\Rightarrow A = \int\limits_0^h \frac{p_0 \cdot S \cdot H}{H-x}\; dx = - \int\limits_0^h \frac{p_0 \cdot S \cdot H}{H-x}\; d(H-x) = - p_0 \cdot S \cdot H \cdot \ln(H-x)\biggr|^h_0 =$

$= p_0 \cdot S \cdot H \cdot \ln\left(\frac{H}{H-h} \right) = p_0 \cdot \pi \cdot R^2 \cdot H \cdot \ln\left(\frac{H}{H-h} \right)$

$= \pi \cdot (0,4 [m] )^2 \cdot 103,3 [kPa] \cdot 2,0 [m] \cdot \ln \left(\frac{2,0 [m]}{2,0 [m] - 1,0 [m] } \right) = 71\,982 \approx 72\,000 \;[$кДж$~]$