Задача Кузнецов Интегралы 22-9

Условие задачи

Вычислить силу, с которой вода давит на плотину, сечение которой имеет форму равнобочной трапеции (см. рис.). Плотность воды $\rho = 1000$ кг/м³, ускорение свободного падения $g$ положить равным 10 м/с².
Указание: Давление на глубине $x$ равно $\rho gx$.

$a=6{,}9$ м, $b=11{,}4$ м, $h=5{,}0$ м.

Решение

$~c = b - 2 FB ; \Delta F B G \;$ подобен $\; \Delta E B C \Rightarrow c = b - x \frac{b-a}{h}$

$P=\rho g x; P = \frac{F}{S}; \Delta S = c \cdot \Delta x; F_x = \rho g x \cdot c \cdot \Delta x \Rightarrow$

$\Rightarrow F = \int\limits_0^h \rho g x \cdot \left( b - x \frac{b-a}{h} \right)\;dx = \left( \rho g b \frac{x^2}{2} - \rho g \frac{b-a}{h} \cdot \frac{x^3}{3} \right) \biggr|_0^h =$

$= \rho g \left( \frac{1}{2} \cdot b h^2 - (b-a) \cdot \frac{h^2}{3} \right) =$

$= \rho g h^2 \left( \frac{b}{2} - \frac{b-a}{3} \right) =$

$= 1000 \cdot 10 \cdot 5,0^2 \cdot \left( \frac{11,4}{2} - \frac{11,4-6,9}{3} \right) = 1050000 \;\Eta$