Задача Кузнецов Интегралы 3-1

Условие задачи

Вычислить неопределенный интеграл:

$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}}$

Решение

Введем замену

$x=\frac{1}{t}$

$dx=-\frac{1}{t^2}dt$

Тогда

$\int{\frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}}}=\int{\frac{-\frac{1}{t^2}dt}{\frac{1}{t}\sqrt{\left(\frac{1}{t}\right)^2+1}}}= -\int{\frac{dt}{\sqrt{t^2+1}}}=$

$=-\ln{\left|t+\sqrt{t^2+1}\right|}+C=-\ln{\left|\frac{1+\sqrt{x^2+1}}{x}\right|}+C$