Задача Кузнецов Интегралы 3-19

Условие задачи

Вычислить неопределенный интеграл:

$\int \frac{x^3}{x^2+4} dx$

Решение

Решение №1

$\int \frac{x^3}{x^2+4} dx = \frac{1}{2}\cdot \int \frac{x^2}{x^2+4} d\left(x^2\right) = \frac{1}{2}\cdot \int \frac{x^2+4-4}{x^2+4} d\left(x^2\right) =$

$= \frac{1}{2}\cdot \int d\left(x^2\right) - \frac{1}{2}\cdot \int \frac{4}{x^2+4} d\left(x^2\right) = \frac{1}{2}\cdot x^2 - 2\ln{\left(x^2+4\right)} + C$

Решение №2

$\int\frac{x^{3}}{x^{2} + 4}dx =$

Под интегралом неправильная дробь. Выделим целую часть:

$\begin{array}{ll} x^3&|\underline{x^2+4} \\ \underline{x^3+4x}&x \\ \qquad -4x& \\ \end{array}$

Получаем:

$= \int \left(x - \frac{4x}{x^2 + 4}\right)dx = \int xdx - 4\int\frac{xdx}{x^{2} + 4} = \frac{x^{2}}{2} - 2\int\frac{d(x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} =$

$= \frac{x^{2}}{2} - 2\ln|x^{2} + 4| + C$