Задача Кузнецов Интегралы 3-3

Условие задачи

Вычислить неопределенный интеграл:

$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}$

Решение

$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}} = \int \frac{dx}{x\cdot |x|\cdot \sqrt{1-\frac{1}{x^2}}} =$

Рассмотрим сначала случай $x>0$:

$= \int \frac{dx}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}} =$

Замена:

$y=\frac{1}{x} \Rightarrow y^2 = \frac{1}{x^2}$

$dy=-\frac{1}{x^2}dx \Rightarrow \frac{1}{x^2}dx = -dy$

Получаем:

$= \int \frac{-dy}{\sqrt{1-y^2}} = -\int \frac{dy}{\sqrt{1-y^2}} = -\arcsin{y}+C =$

Обратная замена:

$y=\frac{1}{x}$

Получаем:

$= -\arcsin{\frac{1}{x}}+C$

В случае $x<0$ в результате получим:

$= \arcsin{\frac{1}{x}}-C$

Т.к. функция $\arcsin{x}$ - нечетная, то общее решение можно записать так:

$= -\arcsin{\frac{1}{|x|}}+C$ (знак константы интегрирования не влияет на общность)