Задача Кузнецов Интегралы 4-1

Условие задачи

Вычислить определенный интеграл:

$\int\limits_{e+1}^{e^2+1} \frac{1+\ln{(x-1)}}{x-1} dx$

Решение

$\int\limits_{e+1}^{e^2+1} \frac{1+\ln{(x-1)}}{x-1} dx = \int\limits_{e+1}^{e^2+1} \frac{1}{x-1} dx + \int\limits_{e+1}^{e^2+1} \frac{\ln{(x-1)}}{x-1} dx =$

$= \left. \ln{|x-1|} \right|_{e+1}^{e^2+1} + \int\limits_{e+1}^{e^2+1} \ln{(x-1)} d\left(\ln{(x-1)}\right) =$

$= \ln{|e^2+1-1|} - \ln{|e+1-1|} + \left. \frac{1}{2}\cdot \ln^{2}{(x-1)} \right|_{e+1}^{e^2+1} =$

$= 2 - 1 + \frac{1}{2}\cdot \ln^{2}{e^2} - \frac{1}{2}\cdot \ln^{2}{e} = 1 + \frac{1}{2}\cdot 2^2 - \frac{1}{2}\cdot 1^2 =$

$= 1 + 2 - \frac{1}{2} = 2\frac{1}{2}$