Задача Кузнецов Интегралы 4-19

Условие задачи

Вычислить определенный интеграл:

$\int\limits_{\sqrt{2}}^2 \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}$

Решение

$\int\limits_{\sqrt{2}}^2 \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}} = \int\limits_{\sqrt{2}}^2 \frac{dx}{x^2\cdot \frac{1}{x}\cdot \sqrt{x^2-1}} = \int\limits_{\sqrt{2}}^2 \frac{dx}{x^2\cdot \sqrt{1-\frac{1}{x^2}}} = -\int\limits_{\sqrt{2}}^2 \frac{d\left(\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}} =$

$= \int\limits_{\sqrt{2}}^2 \frac{dx}{x^2\cdot \sqrt{1-\frac{1}{x^2}}} = -\int\limits_{\sqrt{2}}^2 \frac{d\left(\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}} = -\left. \arcsin{\frac{1}{x}}\right|_{\sqrt{2}}^2 =$

$= -\arcsin{\frac{1}{2}} + \arcsin{\frac{1}{\sqrt{2}}} = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$