Задача Кузнецов Интегралы 4-2

Условие задачи

Вычислить определенный интеграл:

$\int\limits_0^1 \frac{\left(x^2+1\right)dx}{\left(x^3+3x+1\right)^2}$

Решение

$\int\limits_0^1 \frac{\left(x^2+1\right)dx}{\left(x^3+3x+1\right)^2} = \int\limits_0^1 \frac{\frac{1}{3}\cdot \left(3x^2+3\right)dx}{\left(x^3+3x+1\right)^2} = \int\limits_0^1 \frac{\frac{1}{3}\cdot d\left(x^3+3x+1\right)}{\left(x^3+3x+1\right)^2} =$

$= \left. \frac{1}{3}\cdot \left(- \frac{1}{x^3+3x+1}\right) \right|_0^1 = -\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{1^3+3\cdot 1+1} + \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{0^3+3\cdot 0+1} =$

$= -\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{1+3+1} + \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{1} = -\frac{1}{15} + \frac{1}{3} = \frac{4}{15}$